郭宏江——三角函数和e^x,lnx结合试题的破解方法

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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三角函数和e^x,lnx结合试题

的破解方法

西安           郭宏江

三角函数和e^x,lnx结试题怎么破解，是困扰广大教师的难题，笔者通过认真研读高考试题和各地模拟试题总结出来一些方法，供大家参考：（由于此处难度很大，所以举例多，望各位读者认真体会其中的内在关系）

  主要分以下题型：（共三种题型）

（一）sinx,cosx和e^x,lnx加减型处理的方法，这类题处主要是以三角函数特别是正余弦函数为主，将区间分成以π/2的整数倍断开，此时不需要考虑指对函数的区间（为什么？）如果是考察零点，则在各个区间内找零点的个数，最后再总结；如果再要证明不等式，可能要进行多次求导，（此时不是盲目的，而是观察到f(x)=0 和f^’(x)=0是为了说明一阶导的正负），还要涉及简单的放缩.

  以下以2019年全国一卷导数题为例，做以较详细的讲解：

（此处是处理这类题的第二个要点，在π/2的整数倍以后的区间结合正余弦的有界性有方向性的放缩，即达到目的）          

以下以2020年福州市高中毕业班质量检测21题第二问为例，体会前边讲过的方法：

（这是此题第一种方法，后边再讲此题第二种方法）

（二） sinx,cosx和e^x和乘除型处理的方法，（包括可以化为这种模型的试题），既要体现指数型“交朋友”，又要对三角函数按区间分段，或者抓住，对此求导，直至可以说明为止）

请看下边几例.

一道模考题 ：

有e^x和三角函数加减属于不等式证明问题时，也可以转化为相乘除关系处理，以下例子体会以下：

再次以炒得很红的八省第一次联考22题第一问为例:(两种方法）

  此种解法，即体现了三角函数的分类标准，也体现了指数型“交朋友”，其中的奥秘读者自己体会.

（三）e^x,lnx和三角函数也可以考虑利用切线放缩e^x≥x+1(x=0时取等号），lnx≤x-1(x=0时取等号）

以下是一道模考题的第二问：

  以上各种解法是自己的一点体会，和各位同行分享.

郭宏江老师往期文章链接：

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